Question

7．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=6，點D是BC邊上一動點（不與B、C重合），過點D作DE⊥BC交AB邊于點E，將∠B沿直線DE翻折，點B落在射線BC上的點F處，當△AEF為直角三角形時，BD的長為1或2．

Answer 1

分析 Rt△ABC中，根據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得AB=4$\sqrt{3}$，然后由翻折的性質可求得∠AEF=60°，從而可求得∠EAF=30°，故此AE=2EF，由翻折的性質可知：BE=EF，故此AB=3BE，所以EB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最后在Rt△BED中利用特殊銳角三角函數(shù)值即可求得BD的長．當點F在BC的延長線上時，∠AEF=90°，然后依據(jù)角平分線的性質可得到ED=AE，然后再證明△BED∽△BAC，最后依據(jù)相似三角形的性質求解即可．

解答 解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴$\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{6}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴AB=4$\sqrt{3}$
∵∠B=30°，DE⊥BC，
∴∠BED=60°．
由翻折的性質可知：∠BED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°．
∵△AEF為直角三角形，
∴∠EAF=30°．
∴AE=2EF．
由翻折的性質可知：BE=EF，
∴AB=3BE．
∴EB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{BD}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴BD=2．
如圖所示：當點F在BC的延長線上時．

∵△AEF為直角三角形，
∴∠EAF=90°，
∴∠EFA=30°．
∴∠EFD=∠EFA．
又∵ED⊥BF，EA⊥AF，
∴AE=DE．
∵BC=6，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=4$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$
設DE=x，BE=4$\sqrt{3}$-x．
∵DE∥AC，
∴$\frac{ED}{AC}=\frac{BE}{AB}$，$\frac{x}{2\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}-x}{4\sqrt{3}}$，解得：x=1．
故答案為：1或2．

點評 本題主要考查的是翻折的性質和特殊銳角三角函數(shù)值的應用，掌握翻折的性質和特殊銳角三角函數(shù)值是解題的關鍵．