Question

18．如圖，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，動點P從點D出發(fā)，在邊DA上以每秒1個單位的速度向點A運動，連接CP，作點D關(guān)于直線PC的對稱點E，設點P的運動時間為t（s）．
（1）若m=6，求當P，E，B三點在同一直線上時對應的t的值．
（2）已知m滿足：在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t，使點E到直線BC的距離等于3，求所有這樣的m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設PD=t．則PA=6-t．首先證明BP=BC=6，在Rt△ABP中利用勾股定理即可解決問題；
（2）分兩種情形求出AD的值即可解決問題：①如圖2中，當點P與A重合時，點E在BC的下方，點E到BC的距離為3．②如圖3中，當點P與A重合時，點E在BC的上方，點E到BC的距離為3；

解答 解：（1）如圖1中，設PD=t．則PA=6-t．

∵P、B、E共線，
∴∠BPC=∠DPC，
∵AD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB，
∴∠BPC=∠PCB，
∴BP=BC=6，
在Rt△ABP中，∵AB²+AP²=PB²，
∴4²+（6-t）²=6²，
∴t=6-2$\sqrt{5}$或6+2$\sqrt{5}$（舍棄），
∴PD=6-2$\sqrt{5}$，
∴t=（6-2$\sqrt{5}$）s時，B、E、P共線．

（2）如圖2中，當點P與A重合時，點E在BC的下方，點E到BC的距離為3．
作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．則EQ=3，CE=DC=4

易證四邊形EMCQ是矩形，
∴CM=EQ=3，∠M=90°，
∴EM=$\sqrt{E{C}^{2}-C{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，
∴△ADC∽△DME，
$\frac{AD}{DM}$=$\frac{DC}{EM}$，
∴$\frac{AD}{7}$=$\frac{4}{\sqrt{7}}$，
∴AD=4$\sqrt{7}$，
如圖3中，當點P與A重合時，點E在BC的上方，點E到BC的距離為3．
作EQ⊥BC于Q，延長QE交AD于M．則EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由△DME∽△CDA，
∴$\frac{DM}{CD}$=$\frac{EM}{AD}$，
∴$\frac{\sqrt{7}}{4}$=$\frac{1}{AD}$，
∴AD=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$，
綜上所述，在動點P從點D到點A的整個運動過程中，有且只有一個時刻t，使點E到直線BC的距離等于3，這樣的m的取值范圍$\frac{4\sqrt{7}}{7}$≤m＜4$\sqrt{7}$．

點評 本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用特殊位置解決問題，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．