Question

如圖，在四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AE=

1

3

AB，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）已知點P是四邊形ABCD邊上的一個動點．
①若點P從B點出發(fā)，沿BC→CD→DA運動至A點停止．當(dāng)△BEP為等腰三角形時，符合要求的點P有

4

個．
②若點P從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC方向運動至A點停止．設(shè)運動時間為t s，試求：當(dāng)t等于多少時，△BEP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）通過全等三角形△ABC≌△CDA的對應(yīng)邊相等推知AB=DC；然后由平行線的判定知AB∥DC，則由“由一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結(jié)論；
（2）求出AC，當(dāng)P在BC上時，①BP=EB=2，②BP=PE，作PM⊥AB于M，根據(jù)cosB求出BP，③BE=PE=2cm，作EN⊥BC于N，根據(jù)cosB求出BN；當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；當(dāng)P在AD上時，過P作PN⊥BA于N，證△QAP∽△ABC，推出PQ：AQ：AP=4：3：5，設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，在△EPN中，由勾股定理得出方程（3x+1）²+（4x）²=2²，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：在△ABC與△CDA中，

∠B=∠D ∠BAC=∠ACD=90° AC=CA(公共邊)

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB=CD．
又∵∠BAC=∠ACD=90°，
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

解：（2）①當(dāng)P在BC上時，有三個符合條件的點P使△BEP是等腰三角形；
當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形；
當(dāng)P在AD上時，有一個符合條件的點P使△BEP是等腰三角形；
綜上所述，符合條件的點P有4個；
故答案是：4；

②解：∵∠BAC=90°，BC=5cm，AB=3cm，′
由勾股定理得：AC=4cm，
即AB、CD間的最短距離是4cm，
∵AB=3cm，AE=

1

3

AB，
∴AE=1cm，BE=2cm，
設(shè)經(jīng)過ts時，△BEP是等腰三角形，
當(dāng)P在BC上時，
①BP=EB=2cm，
t=2時，△BEP是等腰三角形；
②BP=PE，
作PM⊥AB于M，
∴BM=ME=

1

2

BE=1cm
∵cos∠ABC=

AB

BC

=

BM

BP

=

3

5

，
∴BP=

5

3

cm，
t=

5

3

時，△BEP是等腰三角形；
③BE=PE=2cm，
作EN⊥BC于N，則BP=2BN，
∴cosB=

BN

BE

=

3

5

，
∴

BN

2

=

3

5

，
BN=

6

5

cm，
∴BP=

12

5

，
∴t=

12

5

時，△BEP是等腰三角形；
當(dāng)P在CD上不能得出等腰三角形，
∵AB、CD間的最短距離是4cm，CA⊥AB，CA=4cm，
當(dāng)P在AD上時，只能BE=EP=2cm，
過P作PQ⊥BA于Q，
∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠QAD=∠ABC，
∵∠BAC=∠Q=90°，
∴△QAP∽△ABC，
∴PQ：AQ：AP=4：3：5，
設(shè)PQ=4xcm，AQ=3xcm，
在△EPQ中，由勾股定理得：（3x+1）²+（4x）²=2²，
∴x=

2 21 -3

25

，
AP=5x=

2 21 -3

5

cm，
∴t=5+5+3-

2 21 -3

5

=

68-2 21

5

，
答：從運動開始經(jīng)過2s或

5

3

s或

12

5

s或

68-2 21

5

s時，△BEP為等腰三角形．

點評：本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定．全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．