Question

如圖，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于點G，現將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，延長BE和DF相交于點C．
（1）求證：四邊形ABCD是正方形；
（2）若EG=3，GF=2，求AG的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）根據折疊的性質求出AD=AG=AB，∠D=∠B=90°，求出∠DAB=90°，根據正方形的判定推出即可．
（2）設AG=x，則AB=BC=CD=x，求出CE=CB-BE=x-3，CF=x-2．根據勾股定理得出（x-3）²+（x-2）²=5²，求出方程的解即可．

解答：（1）證明：∵將△AEG沿AE折疊得到△AEB，將△AFG沿AF折疊得到△AFD，
∴AD=AG=AB，∠D=∠AGF=90°，∠B=∠AGE=90°，∠DAF=∠GAF，∠BAE=∠GAE，
∵∠EAF=45°=∠FAG+∠GAE，
∴∠DAF+∠BAE=45°，
∴∠DAB=45°+45°=90°，
即∠B=∠D=∠DAB=90°，AD=AB，
∴四邊形ABCD是正方形．

解：（2）由折疊知，Rt△ABE≌Rt△AGE，Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴BE=EG=3，DF=FG=2，
∵EF=5，
設AG=x，則AB=BC=CD=AG=x，CE=CB-BE=x-3，CF=x-2．
∵CE²+CF²=EF²，
∴（x-3）²+（x-2）²=5²．
解這個方程，得x₁=6，x₂=-1（舍去）．
∴AG=6．

點評：本題考查了折疊的性質，正方形的判定，全等三角形的性質和判定，勾股定理的應用，主要考查學生的推理能力．