Question

3．已知：如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DE∥AC，AE∥BD．
（1）求證：四邊形AODE是矩形；
（2）若AB=2$\sqrt{3}$，∠BCD=120°，連接CE，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得AC⊥BD，然后判斷出四邊形AODE是平行四邊形，即可推得四邊形AODE是矩形．
（2）在Rt△AEC中，求出AC、AE即可解決問(wèn)題．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=90°，
又∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四邊形AODE是平行四邊形，
∴四邊形AODE是矩形．

（2）解：∵∠BCD=120°，四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠CAB=∠CAD=60°，AB=BC，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=2$\sqrt{3}$，OB=OD=AE=3，
在Rt△AEC中，EC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、以及菱形的性質(zhì)和應(yīng)用、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．