Question

15．已知：關(guān)于x的方程x²+（m-1）x-1=0，
（1）求證：方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）設(shè)方程兩個實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，當(dāng)|x₁|=4|x₂|時，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式的符號進(jìn)行證明；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出x₁+x₂=1-m，x₁x₂=1，分x₁=4x₂，x₁=-4x₂，分類探討得出答案即可．

解答 解：（1）∵△=（m-1）²-4×（-1）=（m-1）²+4＞0，
∴關(guān)于x的方程x²+（m-1）x-1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）設(shè)方程兩個實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=1-m，x₁x₂=1，
∵|x₁|=4|x₂|，
∴x₁=±4x₂，
當(dāng)x₁=4x₂時
$\left\{\begin{array}{l}{5{x}_{2}=1-m}\\{4{x}_{2}^{2}=1}\end{array}\right.$
解得m=-2，或m=3；
當(dāng)x₁=-4x₂時
$\left\{\begin{array}{l}{-3{x}_{2}=1-m}\\{-4{x}_{2}^{2}=-1}\end{array}\right.$，舍去．
∴m=-2，或m=3．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，（1）△＞0?方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根；根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．