Question

如圖，線(xiàn)段AB是圓O的直徑，直線(xiàn)PQ經(jīng)過(guò)圓上一點(diǎn)C，PQ∥AB，連結(jié)AC、BC，且AC=BC，AC=5

2

．點(diǎn)D是圓O上一點(diǎn)，且BD=5．
（1）求證：PQ是圓O的切線(xiàn)；
（2）求∠CBD的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的判定,勾股定理

專(zhuān)題：

分析：（1）利用三角形ABC是等腰直角三角形的性質(zhì)（三線(xiàn)合一），以及PQ∥AB，得出OC⊥PQ得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)一步分情況探討：①點(diǎn)D在弧BC上；②點(diǎn)D在弧BA上．

解答：（1）證明：如圖，

連接OC，
∵AB是圓O的直徑，OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB
又∵PQ∥AB
∴OC⊥PQ
又∵點(diǎn)C在圓上，PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∴PQ是圓O的切線(xiàn)．
（2）解：∵AB是圓O的直徑，
∴∠ACB=90°，
根據(jù)勾股定理，AB=

AC2+BC2

=10，
點(diǎn)D是圓O上一點(diǎn)，且BD=5
∴OD=OB=BD=5，
∴∠OBD=60°，
又∵AC=BC，
∴∠OBC=45°，
如圖，

∴∠CBD=60°+45°=105°，或∠CBD=60°-45°=15°
即∠CBD=105°或15°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查切線(xiàn)的判定，以及等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及分類(lèi)討論思想的滲透．