Question

14．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點E是DC的中點，過點E作DC的垂線交AB于點P，交CB的延長線于點M，點F在線段ME上，且滿足CF=AD，MF=MA．
（1）求證：△DME≌△CME；
（2）若∠MFC=120°，求∠BAM的度數(shù)；
（3）試猜想∠PMB與∠FCM有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得MD=MC，根據(jù)SSS即可證明，由可以用SAS進行證明．
（2）由△AMD≌△FMC得∠DAM=∠MFC=120°即可解決問題．
（3）結(jié)論：∠FCM=2∠PMB，由△AMD≌△FMC得∠ADM=∠FCM，由AD∥BC得∠ADM=∠DMC，再證明∠DME=∠CME即可．

解答 （1）證明：∵DE=EC，ME⊥CD，
∴MD=MC，
在△DME和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{MD=MC}\\{ME=ME}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DME≌△CME．
（2）證明：在△AMD和△FMC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=FM}\\{MD=MC}\\{AD=CF}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△FMC，
∴∠DAM=∠MFC=120°，
∵AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∴∠DAB=90°，
∴∠MAB=∠MAD-∠DAB=30°．
（3）結(jié)論：∠FCM=2∠PMB．
理由：∵△AMD≌△FMC，
∴∠ADM=∠FCM，
∵AD∥BC，
∴∠ADM=∠DMC，
∴∠DMC=∠FCM，
∵MD=MC，ME⊥CD，
∴∠DME=∠CME，
∴∠FCM=2∠PMB．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、相等垂直平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，屬于中考�？碱}型．