Question

13．如圖，AB是⊙O的直徑，直線BM經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，點(diǎn)C在右半圓上移動(dòng)（與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，連接CA、CB，∠CBM=∠BAC，點(diǎn)F在射線BM上移動(dòng)（點(diǎn)M在點(diǎn)B的右邊），在移動(dòng)過(guò)程中保持OF∥AC．
（1）求證：BM為⊙O的切線．
（2）若CD、FO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，判斷是否存在點(diǎn)E，使得點(diǎn)E恰好在⊙O上？若存在，求∠E的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）連接AF交CD于點(diǎn)G，設(shè)k=$\frac{CG}{CD}$，試問(wèn)：點(diǎn)C在移動(dòng)的過(guò)程中，k的值是否會(huì)發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)直接寫出k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意得出∠OBM=90°，再利用切線的判定方法得出答案；
（2）首先利用全等三角形的判定方法得出△EOD≌△CAD（ASA），進(jìn)而得出∠E的度數(shù)；
（3）首先得出△ADC∽△OBF，進(jìn)而求出△ADG∽△ABF，再利用相似三角形的性質(zhì)得出$\frac{AD}{OB}$=$\frac{2DG}{BF}$=$\frac{DC}{BF}$，求出即可．

解答 （1）證明：由題意知∠ACB=90°，
∴∠OBM=∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=90°，
∴OB⊥BM，
∴BM為⊙O的切線；

（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)E，如圖1，
∵CD⊥AB，
∴DE=DC，
∵OF∥AC，
∴∠ACE=∠CEF，
在△EOD和△CAD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠E=∠ACE}\\{ED=DC}\\{∠EDO=∠ADC}\end{array}\right.$，
∴△EOD≌△CAD（ASA），
∴OD=DA，
在Rt△OED中，
sin∠OED=$\frac{OD}{OE}$=$\frac{OD}{OA}$=$\frac{OD}{2OD}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠E=30°；

（3）解：如圖2，
點(diǎn)E存在，k的值不會(huì)變化，k=$\frac{1}{2}$，
理由：∵點(diǎn)C在右半圓上移動(dòng)（與點(diǎn)A、B不重合），且AC∥OF，
∴∠CAD=∠FOB，
∵∠ABF=90°，DC⊥AB，
∴∠ADC=∠ABF，
∴∠ADC=∠ABF，
∴△ADC∽△OBF，
∴$\frac{AD}{OB}$=$\frac{DC}{BF}$，
又∵∠DAG=∠BAF，∠ADG=∠ABF=90°，
∴△ADG∽△ABF，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DG}{BF}$，
又∵AB=2OB，
∴$\frac{AD}{2OB}$=$\frac{DG}{BF}$，即$\frac{AD}{OB}$=$\frac{2DG}{BF}$=$\frac{DC}{BF}$，
∴DC=2DG，即DG=GC，
∴k=$\frac{GC}{DC}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)以及切線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△ADG∽△ABF是解題關(guān)鍵．