Question

2．如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，AD=2，弦AE平分BC交BC于P，連接CE，則CE的長為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圓周角定理求得∠AEC=90°，由勾股定理求出AM的長，再證明△AMB∽△CME，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比例即可求出CE的長．

解答 解：連接AC，BE，如圖所示：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC=AB=2，
∵AE平分BC，
∴BM=CM=1，
∵四邊形ABCD為圓內(nèi)正方形，
∴AC必過圓心O，且∠AEC=∠ABC=90°，
∵∠CME=∠AMB，
∴△AMB∽△CME，
∴$\frac{AB}{CE}=\frac{AM}{MC}$．
∵AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2}{CE}=\frac{\sqrt{5}}{1}$，
∴CE=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)、圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．