Question

在平面坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按這樣的規(guī)律進行下去，第2012個正方形的面積為（　　）

A．    B．    C．    D．

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：∵點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2），

∴OA=1，OD=2，

設正方形的面積分別為S₁，S₂…S₂₀₁₂，

根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，

∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，

∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，

∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，

在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD==，

∴AB=AD=BC=，

∴S₁=5，

∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，

∴∠ADO=∠BAA₁，

∴tan∠BAA₁===，

∴A₁B=，

∴A₁C=BC+A₁B=，

∴S₂=×5=5×（）²，

∴==，

∴A₂B₁=×=，

∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=+==×（）²，

∴S₃=×5=5×（）⁴，

由此可得：S_n=5×（）^2n﹣2，

∴S₂₀₁₂=5×（）^2×2012﹣2=5×（）⁴⁰²²．

故選D．

考點：相似三角形的判定與性質；坐標與圖形性質；正方形的性質．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及三角函數(shù)等知識．此題難度較大，解題的關鍵是得到規(guī)律S_n=5×（）^2n﹣2．