Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，正方形OABC的邊長為2 cm，點A、C分別在y軸的負(fù)半軸和x軸的正半軸上，拋物線y＝ax²＋bx＋c經(jīng)過點A、B和D(4，)．

(1)求拋物線的表達(dá)式．

(2)如果點P由點A出發(fā)沿AB邊以2 cm/s的速度向點C運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)S＝PQ²(cm²)．

①試求出S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

②當(dāng)S取時，在拋物線上是否存在點R，使得以點P、B、Q、R為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出R點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

(3)在拋物線的對稱軸上求點M，使得M到D、A的距離之差最大，求出點M的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)據(jù)題意知：A(0，－2)，B(2，－2)，D(4，－)，則解得 　　∴拋物線的解析式為：　3分(三個系數(shù)中，每對1個得1分) 　　(2)①由圖象知：PB＝2－2t，BQ＝t，∴S＝PQ2＝PB2＋BQ2＝(2－2t)2＋t2， 　　即S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)　5分(解析式和t取值范圍各1分) 　�、诩僭O(shè)存在點R，可構(gòu)成以P、B、R、Q為頂點的平行四邊形． 　　∵S＝5t2－8t＋4(0≤t≤1)， 　　∴當(dāng)S＝時，5t2－8t＋4＝，得20t2－32t＋11＝0， 　　解得t＝，t＝(不合題意，舍去)　7分 　　此時點P的坐標(biāo)為(1，－2)，Q點的坐標(biāo)為(2，－) 　　若R點存在，分情況討論： 　　1)假設(shè)R在BQ的右邊，這時QRPB，則，R的橫坐標(biāo)為3，R的縱坐標(biāo)為－ 　　即R(3，－)，代入，左右兩邊相等， 　　∴這時存在R(3，－)滿足題意．　8分 　　2)假設(shè)R在BQ的左邊，這時PRQB，則：R的橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為－即(1，－)代入，左右兩邊不相等，R不在拋物線上．　9分 　　3)假設(shè)R在PB的下方，這時PRQB，則：R(1，－)代入， 　　左右不相等，∴R不在拋物線上．　10分 　　綜上所述，存在一點R(3，－)滿足題意． 　　(3)∵A關(guān)于拋物線的對稱軸的對稱點為B，過B、D的直線與拋物線的對稱軸的交點為所求M，M的坐標(biāo)為(1，－)　12分