Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+2交x軸于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，與過點C且平行于x軸的直線交于另一點D，點P是拋物線上一動點．

（1）求拋物線解析式及點D坐標；

（2）點E在x軸上，若以A，E，D，P為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點P的坐標；

（3）過點P作直線CD的垂線，垂足為Q，若將△CPQ沿CP翻折，點Q的對應(yīng)點為Q′．是否存在點P，使Q′恰好落在x軸上？若存在，求出此時點P的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），點D坐標為（3，2）（2）P₁（0，2）；P₂（，﹣2）；P₃（，﹣2）（3）存在，（），（）

【解析】解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+2經(jīng)過A（﹣1，0），B（4，0）兩點，

        ∴，解得：。

∴拋物線解析式為。

當y=2時，，解得：x₁=3，x₂=0（舍去）。

∴點D坐標為（3，2）。

（2）A，E兩點都在x軸上，AE有兩種可能：

①當AE為一邊時，AE∥PD，∴P₁（0，2）。

②當AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，可知P點、D點到直線AE（即x軸）的距離相等，∴P點的縱坐標為﹣2。

代入拋物線的解析式：，解得：。

∴P點的坐標為（，﹣2），（，﹣2）。

綜上所述：P₁（0，2）；P₂（，﹣2）；P₃（，﹣2）。

（3）存在滿足條件的點P，顯然點P在直線CD下方。

設(shè)直線PQ交x軸于F，點P的坐標為（），

①當P點在y軸右側(cè)時（如圖1），CQ=a，

 

 

PQ=。

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠COQ′=∠Q′FP=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∴△COQ′∽△Q′FP，

∴，即，解得F Q′=a﹣3

∴OQ′=OF﹣F Q′=a﹣（a﹣3）=3，

 。

此時a=，點P的坐標為（）。

②當P點在y軸左側(cè)時（如圖2）此時a＜0，，＜0，CQ=﹣a，（無圖）

PQ=。

又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°，∠CQ′O+∠OCQ′=90°，

∴∠FQ′P=∠OCQ′，∠COQ′=∠Q′FP=90°。

∴△COQ′∽△Q′FP。

∴，即，解得F Q′=3﹣a。

∴OQ′=3，。

此時a=﹣，點P的坐標為（）。

綜上所述，滿足條件的點P坐標為（），（）。

（1）用待定系數(shù)法可得出拋物線的解析式，令y=2可得出點D的坐標。

（2）分兩種情況進行討論，①當AE為一邊時，AE∥PD，②當AE為對角線時，根據(jù)平行四邊形對頂點到另一條對角線距離相等，求解點P坐標。

（3）結(jié)合圖形可判斷出點P在直線CD下方，設(shè)點P的坐標為（），分情況討論，①當P點在y軸右側(cè)時，②當P點在y軸左側(cè)時，運用解直角三角形及相似三角形的性質(zhì)進行求解即可。