Question

20．關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²+5=0有兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍．
（2）如果等腰三角形ABC的兩邊是這個方程的兩根，且腰長是7，求這個三角形的周長．

Answer 1

分析 （1）利用判別式的意義得到△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用等腰三角形的性質(zhì)得到方程的一個解為7，把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得m₁=10，m₂=4，討論：當(dāng)m=10時，方程化為x²-22x+105=0；當(dāng)m=4時，方程化為x²-10x+21=0，然后分別解方程后利用三角形三邊的關(guān)系確定三角形三邊，最后就是三角形的周長．

解答 解：（1）根據(jù)題意得△=4（m+1）²-4（m²+5）≥0，
解得m≥2；
（2）把x=7代入x²-2（m+1）x+m²+5=0得49-2（m+1）+m²+5=0，解得m₁=10，m₂=4，
當(dāng)m=10時，方程化為x²-22x+105=0，解得x₁=7，x₂=15，而7+7＜15，故舍去；
當(dāng)m=4時，方程化為x²-10x+21=0，解得x₁=7，x₂=3，此時三角形周長為3+7+7=17．
所以三角形的周長為17．

點評 本題考查了根的判別式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與△=b²-4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系．