Question

如圖，△ABC是等邊三角形，點D，E分別在BC、AC上，且∠ADE=60°，
（1）求證：BD•CD=AC•CE；
（2）若△ABC的邊長為6，CD=2BD，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由△ABC是等邊三角形，∠ADE=60°，易證得∠B=∠D=60°，∠BAD=∠CDE，即可證得△ABD∽△DCE，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可證得BD•CD=AC•CE；
（2）首先過點A作AF⊥BC于F，由等邊三角形的性質(zhì)，即可求得BF與AF的長，又由CD=2BD，易求得DF的長，然后利用勾股定理即可求得AD的長．

解答：（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，
∴∠BAD=∠CDE，
∴△ABD∽△DCE，
∴

AB

CD

=

BD

CE

，
∴BD•CD=AB•CE，
即BD•CD=AC•CE；

（2）解：過點A作AF⊥BC于F，
∵△ABC是等邊三角形，邊長為6
∴BF=

1

2

BC=3，
∵CD=2BD，
∴AB=BC=6，BD=2，
∴DF=1，
在Rt△ABF中，AF=

AB2-BF2

=3

3

，
在Rt△ADF中，AD=

AF2+DF2

=2

7

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法．