Question

【題目】已知如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），交y軸于點C，點P是該拋物線上一動點，點P從C點沿拋物線向A點運動（點P不與點A重合），過點P作PD∥y軸交直線AC于點D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求點P在運動的過程中線段PD長度的最大值；

（3）△APD能否構成直角三角形？若能請直接寫出點P坐標，若不能請說明理由；

（4）在拋物線對稱軸上是否存在點M使|MA﹣MC|最大？若存在請求出點M的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）點P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．

【解析】試題分析：（1）把點A、B的坐標代入拋物線解析式，解方程組得到b、c的值，即可得解；

（2）求出點C的坐標，再利用待定系數法求出直線AC的解析式，再根據拋物線解析式設出點P的坐標，然后表示出PD的長度，再根據二次函數的最值問題解答；

（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，②求出拋物線頂點坐標，然后判斷出點P為在拋物線頂點時，∠PAD是直角，分別寫出點P的坐標即可；

（4）根據拋物線的對稱性可知MA=MB，再根據三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點M為直線CB與對稱軸交點時，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系數法求出直線BC的解析式，再求解即可．

試題解析：解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c過點A（3，0），B（1，0），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

（2）令x=0，則y=3，∴點C（0，3），則直線AC的解析式為y=﹣x+3，設點P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y軸，∴點D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+．∵a=﹣1＜0，∴當x=時，線段PD的長度有最大值；

（3）①∠APD是直角時，點P與點B重合，此時，點P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1）．∵A（3，0），∴點P為在拋物線頂點時，∠PAD=45°+45°=90°，此時，點P（2，﹣1）．

綜上所述：點P（1，0）或（2，﹣1）時，△APD能構成直角三角形；

（4）由拋物線的對稱性，對稱軸垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三邊關系，|MA﹣MC|＜BC，∴當M、B、C三點共線時，|MA﹣MC|最大，為BC的長度，設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），則，解得： ，∴直線BC的解析式為y=﹣3x+3．∵拋物線y=x2﹣4x+3的對稱軸為直線x=2，∴當x=2時，y=﹣3×2+3=﹣3，∴點M（2，﹣3），即，拋物線對稱軸上存在點M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．