Question

已知：如圖所示，拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）。
（1 ）求拋物線的解析；
（2）設(shè)點(diǎn)P在拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件S_△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長最小。若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）依題意有，
∴b=4 ，c=-3 ，
∴拋物線解析式為y=-x²+4x-3 ；
（2 ）如圖，設(shè)P （x ，y ）
∵AB=2 ，S _△PAB=1
∴×2 ×|y|=1
∴y= ±1
當(dāng)y=1 時(shí)，x=2
當(dāng)y=-1 時(shí)，x=±2 ，
（3 ）存在，過點(diǎn)C作拋物線的對稱軸的對稱點(diǎn)C' ，
∵點(diǎn)（0 ，-3 ），對稱軸為x=2 ，
∴C ′（4 ，-3），
設(shè)直線AC ′的解析式為y=kx+b ，
∴k=-1 ，b=1 ，
∴直線AC ′的解析式為y=-x+1 ，
直線AC ′與對稱軸x=2 的交點(diǎn)為（2，-1），即M （2 ，-1），
∴存在點(diǎn)M （2 ，-1 ），
可使△AMC 的周長最小．
∴滿足條件的點(diǎn)P 有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2 ，1 ），（2，-1），（-2 ，-1）；