Question

已知拋物線y=x²-2ax+a²-2的頂點(diǎn)為A，P點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，且在A點(diǎn)上方，PA=3．
（1）求A、P點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）點(diǎn)Q在拋物線上，求線段PQ的最小值；
（3）若直線y=x+a-2與該拋物線交于B、C兩點(diǎn)，M點(diǎn)是線段BC的中點(diǎn)．當(dāng)a的值在某范圍內(nèi)變化時(shí)，M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線的一部分，請(qǐng)求出該直線的解析式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把拋物線的解析式化成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)已知即可求得P的坐標(biāo)；
（2）設(shè)Q（m，（m-a）²-2），根據(jù)勾股定理即可求得PQ²=（m-a）²+[（m-a²）-3]²，令（m-a）²=n，得出PQ²=（n-

5

2

）²+

11

4

，即可求得PQ的最小值；
（3）聯(lián)立方程，即可得到x²-（2a+1）x+a²-a=0，即可求得直線y=x+a-2與該拋物線交于B、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的和，進(jìn)而求得中點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)M在直線y=2x-

5

2

上，根據(jù)△=（2a+1）²-4（a²-a）＞0，即可求得的取值，進(jìn)而求得

2a+1

2

的取值，即直線y=2x-

5

2

的取值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2ax+a²-2，
∴y=（x-a）²-2，
∴A（a，-2），
∵P點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，且在A點(diǎn)上方，PA=3．
∴P（a，1）；
（2）∵點(diǎn)Q在拋物線y=x²-2ax+a²-2上，
∴設(shè)Q（m，（m-a）²-2），則PQ²=（m-a）²+[（m-a²）-3]²
令（m-a）²=n，則PQ²=n+（n-3）²=（n-

5

2

）²+

11

4

，
當(dāng)n=

5

2

時(shí)，PQ²最小，即PQ最小
∴PQ的最小值=

11 4

=

11

2

；
（3）由

y=x+a-2 y=x2-2ax+a2-2

得x²-（2a+1）x+a²-a=0
∴x₁+x₂=2a+1
∴y₁+y₂=x₁+x₂+2a-4=4a-3，
∴M（

2a+1

2

，

4a-3

2

），
設(shè)M（x₀，y₀）
∴x₀=

2a+1

2

，y₀=

4a-3

2

，
∴y₀=2x₀-

5

2

，
∴點(diǎn)M在直線y=2x-

5

2

上
又∵△=（2a+1）²-4（a²-a）＞0，則a＞-

1

8

，
∴x₀＞

3

8

∴直線為y=2x-

5

2

（x＞

3

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了拋物線的頂點(diǎn)和對(duì)稱軸，求得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是（3）的重點(diǎn)和關(guān)鍵．