Question

3．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，點P沿AC邊從點A以1cm/s的速度向終點C運動，同時點Q從點C以2cm/s的速度沿CB、BA邊向終點A運動
（1）當點Q在CB邊上運動時，點P、Q出發(fā)幾秒后，△PCQ的面積為12cm²；
（2）當點Q在CB邊上運動時，點P、Q出發(fā)幾秒后，△PCQ與△ACP相似；
（3）求整個運動過程中，△APQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式．

Answer 1

分析 （1）設點P、Q同時出發(fā)t秒后，△PCQ的面積為12cm²，則AP=t，CQ=2t，再根據(jù)△PCQ的面積為12cm²，列出一元二次方程，求得t的值即可；
（2）根據(jù)△PCQ與△ACB相似，分兩種情況討論：當△PCQ∽△ACB時，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$；當△PCQ∽△BCA時，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，分別根據(jù)比例式進行求解判斷即可；
（3）根據(jù)整個運動過程中，點Q的位置需要分兩種情況進行討論：當點Q在BC上運動時，0≤t≤3；當點Q在BA上運動時，3＜t≤8，BQ+BC=2t．分別根據(jù)三角形的面積計算方法，求得△APQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式．

解答 解：（1）設點P、Q同時出發(fā)t秒后，△PCQ的面積為12cm²，則AP=t，CQ=2t，

∵AC=8，BC=6，
∴PC=8-t，CQ=2t，
∵BQ=6-2t≥0．
∴0≤t≤3，
∵△PCQ的面積為12cm²，
∴${S_{△PCQ}}=\frac{1}{2}×（8-t）×2t=12$，
∴t²-8t+12=0，
∴t=2或6（舍去），
∴點P、Q同時出發(fā)2秒后，△PCQ的面積為12cm²．

（2）∵△PCQ與△ACB相似，
∴當△PCQ∽△ACB時，$\frac{PC}{AC}=\frac{CQ}{CB}$，
即$\frac{8-t}{8}=\frac{2t}{6}$，
∴$t=\frac{24}{11}$；
當△PCQ∽△BCA時，$\frac{PC}{BC}=\frac{CQ}{CA}$，
即$\frac{8-t}{6}=\frac{2t}{8}$，
∴$t=\frac{16}{5}$＞3（不合題意），
∴當P、Q同時出發(fā)$\frac{24}{11}$秒后，△PCQ與△ACB相似．

（3）如圖所示，當點Q在BC上運動時，0≤t≤3，AP=t，CQ=2t，

∴$S=\frac{1}{2}t×2t={t^2}$；
如圖所示，當點Q在BA上運動時，3＜t≤8，BQ+BC=2t．

∵AC=8，BC=6，∠C=90°，
∴AB=10，
∴AQ=10+6-2t=16-2t，
∵$sinA=\frac{3}{5}$，
∴△APQ中，AP邊上的高為：$\frac{3}{5}$（16-2t），
∴$S=\frac{1}{2}t（16-2t）×\frac{3}{5}=\frac{3}{5}t（8-t）=-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}t$．
綜上所述，△APQ的面積S與運動時間t的函數(shù)關系式為：S=$\left\{\begin{array}{l}{t^2}（0≤t≤3）\\-\frac{3}{5}{t^2}+\frac{24}{5}（3＜t≤8）\end{array}\right.$．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，三角形的面積公式的求法和一元二次方程的解的情況的綜合應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程再求解．解題時注意分類思想的運用．