Question

12．如圖，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，AD=$\sqrt{3}$，AB=6．在底邊AB上取點(diǎn)E，在射線DC上取點(diǎn)F，使得∠DEF=120°．若射線EF經(jīng)過點(diǎn)C，則AE的長是2或5．

Answer 1

分析 過點(diǎn)B作BH⊥DC，延長AB至點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CM⊥AB于F，則BH=AD=$\sqrt{3}$，再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長，設(shè)AE=x，則BE=6-x，利用勾股定理用x表示出DE及EF的長，再判斷出△EDF∽△BCE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程，求出x的值即可．

解答 解：過點(diǎn)B作BH⊥DC，延長AB至點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CM⊥AB于M，則BH=AD=MF=$\sqrt{3}$，
∵∠ABC=120°，AB∥CD，
∴∠BCH=60°，
∴CH=BM=$\frac{BH}{tan60°}$=1，
設(shè)AE=x，則BE=6-x，
在Rt△EFM中，EF=$\sqrt{（EB+BM）^{2}+M{F}^{2}}$=$\sqrt{（7-x）^{2}+3}$，
∵AB∥CD，
∴∠EFD=∠BEC，
∵∠DEF=∠B=120°，
∴△EDF∽△BCE，即△EDF∽△BFE，
∴$\frac{DF}{EF}=\frac{EF}{BE}$，
∴EF²=DF•BE，即（7-x）²+3=7（6-x），
解得x=2或5．
故答案為：2或5．

點(diǎn)評 本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)值等，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解．