Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B（1，0）、C（5，0）兩點(diǎn)。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D為線段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線DC的解析式；
（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線的對(duì)稱軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn) E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，c=3 所以 解得 所以拋物線解析式為。 （2）依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為（0，1），（0，2） 設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，直線CD的解析式為y= 當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，直線CD的解析式為y=。

（3）如圖，由題意，可得M（0，） 點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為M'（0，-） 點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸x=3的對(duì)稱點(diǎn)為A'（6，3） 連結(jié)A'M' 根據(jù)軸對(duì)稱性及兩點(diǎn)間線段最短可知，A'M'的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng) 所以A'M'與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)，與直線x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn) 可求得直線A'M'的解析式為y= 可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（3，） 由勾股定理可求出A'M'= 所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑（ME+EF+FA）的長(zhǎng)為。