Question

已知：如圖，△ABC中，三邊上的高線分別是AX，BY，CZ，X，Y，Z為垂足，求證：AX，BY，CZ交于一點．

Answer 1

分析：分析：要證AX，BY，CZ相交于一點，可以考慮利用三角形三邊垂直平分線交于一點來證，只須構造出一個新三角形A′B′C′，使AX，BY，CZ恰好是△A′B′C′的三邊上的垂直平分線，則AX，BY，CZ必然相交于一點．

解答：證明：分別過A，B，C作對邊的平行線，則得到△A′B′C′．
∵四邊形A′BAC、四邊形AC′BC、四邊形ABCB′均為平行四邊形，∴AC′=BC=AB′．
∵AX⊥BC于X，且BC∥B′C′，
∴AX⊥B′C′于A，那么AX即為B′C′之垂直平分線．
同理，BY，CZ分別為A′C′，A′B′的垂直平分線，
∴AX，BY，CZ相交于一點H．

點評：此題運用“三角形三邊垂直平分線交于一點”，巧妙構造新的三角形求解，很有新意．