Question

10．如圖，四邊形ABCD為菱形，E為對(duì)角線BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=4，DE=1，∠BAE=45°，則AB=2$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N，設(shè)AM=BM=b，ME=a，想辦法列出方程組求出a、b即可解決問(wèn)題．

解答 解：連接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．
∵∠BAE=45°，∠BMA=90°，
∴∠MAB=∠MBA=45°，
∴AM=BM，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠AOE=90°，設(shè)AM=BM=b，ME=a，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90°，
∴△AOE∽△BME，
∴$\frac{OE}{EM}$=$\frac{AE}{BE}$，
∴$\frac{3}{a}$=$\frac{a+b}{5}$，
∴a²+ab=15     ①
又∵a²+b²=25    ②
①×5-②×3得到：2a²+5ab-3b²=0，
∴（a+3b）（2a-b）=0，
∴b=2a代入②得到a=$\sqrt{5}$，
∴b=2$\sqrt{5}$，
∵AB=$\sqrt{2}$AM=2$\sqrt{10}$．
故答案為2$\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造相似三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解決，屬于中考�？碱}型．