Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）E為拋物線上一動點，是否存在點E使以A、B、E為頂點的三角形與△COB相似？若存在，試求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件，過C點，設(shè)出該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結(jié)果；
（2）由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．由相似關(guān)系求出點E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，2），
∴可設(shè)該拋物線的解析式為y=ax²+bx+2．
將A（-1，0），B（4，0）代入，
得

a-b+2=0 16a+4b+2=0

，解得

a=- 1 2 b= 3 2

，
∴拋物線的解析式為：y=-

1

2

x²+

3

2

x+2．
（2）存在．
由圖象可知，以A、B為直角頂點的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以點E為直角頂點的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，
∴BC=

22+42

=2

5

．
在Rt△BOC中，設(shè)BC邊上的高為h，則

1

2

×2

5

h=

1

2

×2×4，
∴h=

4

5

5

．
∵△BEA∽△COB，設(shè)E點坐標(biāo)為（x，y），
∴

AB

BC

=

|y|

4 5 5

，
∴y=±2
將y=2代入拋物線y=-

1

2

x²+

3

2

x+2，
得x₁=0，x₂=3．
當(dāng)y=-2時，不合題意舍去．
∴E點坐標(biāo)為（0，2），（3，2）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及相似三角形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，解題的關(guān)鍵是正確求出函數(shù)的解析式．