Question

【題目】數(shù)學(xué)中，把長(zhǎng)與寬之比為（或?qū)捙c長(zhǎng)之比為）的矩形稱為黃金矩形.

思考解決下列問(wèn)題：

（1）已知圖1中黃金矩形的長(zhǎng)，求的長(zhǎng)；

（2）黃金矩形有個(gè)奇妙的特性：把圖1中的黃金矩形，以為邊向矩形內(nèi)作正方形，則矩形是否為黃金矩形，是，請(qǐng)予以證明；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）黃金矩形使名畫(huà)《蒙娜麗莎》顯得特別和諧，專(zhuān)家分析畫(huà)中布局如圖2，其中最外面的矩形是黃金矩形，以黃金矩形的寬為邊向矩形內(nèi)部作正方形，由上小題知產(chǎn)生的小矩形為更小的黃金矩形，按此規(guī)律依次生成各黃金矩形，若圖3中最大黃金矩形的長(zhǎng)為，則最小黃金矩形的長(zhǎng)是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2）矩形DCGF是黃金矩形，理由見(jiàn)解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)黃金分割的定義代入求解即可；

（2）由正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)D為線段AF的黃金分割點(diǎn)，再根據(jù)黃金分割的定義判斷即可；

（3）根據(jù)黃金分割的定義解答即可.

（1）由題意可得，，

∵，∴，即的長(zhǎng)為.

（2）矩形是黃金矩形，理由如下：

∵四邊形ABEF是正方形，∴AB=DC=AD，

又∵，∴,

即點(diǎn)D是線段AF的黃金分割點(diǎn)，

∴，∴，

∴矩形DCGF是黃金矩形．

（3）若圖3中最大黃金矩形的長(zhǎng)為a，由題意可得，

最小黃金矩形的長(zhǎng)是.