Question

14．如圖，已知拋物線y=x²+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-1，0）、B（2，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)H，直線y=kx（k＞0）交拋物線于點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在N的右側(cè)），交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)D．
（1）求b和c的值；
（2）如圖（1），若將拋物線y=x²+bx+c沿y軸方向向上平移$\frac{5}{4}$個(gè)單位，求證：所得新拋物線圖象均在直線BC的上方；
（3）如圖（2），若MN∥BC．
①連接CD、BM，判斷四邊形CDMB是否為平行四邊形，說(shuō)明理由；
②以點(diǎn)D為圓心，DH長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓⊙D，點(diǎn)P、Q分別為拋物線和⊙D上的點(diǎn)，試求線段PQ長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析 （1）把A、B兩點(diǎn)代入轉(zhuǎn)化為方程組，即可解決問(wèn)題．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0用判別式解決．
（3）①求出DM、BC的長(zhǎng)即可判斷．
②根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，利用配方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題即可解決．

解答 解：（1）由題意$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-1}\\{c=-2}\end{array}\right.$，
所以b=-1，c=-2．
（2）∵拋物線為y=（x+1）（x-2）=x²-x-2，沿y軸方向向上平移$\frac{5}{4}$個(gè)單位，
∴新拋物線為y=x²-x-$\frac{3}{4}$，
設(shè)直線BC為y=kx+b，由題意得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以直線BC為y=x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y={x}^{2}-x-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$消去y得到x²-2x+$\frac{5}{4}$=0，
∵△=4-5=-1＜0，
∴方程組無(wú)解，拋物線與直線BC沒(méi)有交點(diǎn)．
（3）①∵直線MN的解析式為y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y={x}^{2}-x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{3}}\\{y=1+\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\sqrt{3}}\\{y=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴M（1+$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∵D（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴DM=$\sqrt{（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）^{2}+（\frac{1}{2}+\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∵BC=2$\sqrt{2}$，
∵M(jìn)N∥BC，MD≠BC，
∴四邊形CDMB不是平行四邊形．
②設(shè)點(diǎn)P（m，m²-m-2），
∵點(diǎn)D坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴PD²=（m-$\frac{1}{2}$）²+（m²-m-$\frac{5}{2}$）²
=（m-$\frac{1}{2}$）²+[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{11}{4}$]²
=（m-$\frac{1}{2}$）⁴-$\frac{9}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{121}{16}$
=[（m-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{9}{4}$]²+$\frac{10}{4}$，
∴PD²的最小值=$\frac{10}{4}$，
∴PD的最小值=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DQ=$\frac{1}{2}$，
∴線段PQ的最小值=$\frac{\sqrt{10}-1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查待定系數(shù)法確定一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式、解題的關(guān)鍵是利用配方法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，有一定的代數(shù)化簡(jiǎn)技巧，屬于中考?jí)狠S題．