Question

如圖，已知邊長為2的正三角形ABC沿直線m滾動，當(dāng)△ABC滾動一周時，到△DEF位置．設(shè)△ABC滾動240°時，點C的位置為C₁，△ABC滾動480°時，點A的位置為點A₁．根據(jù)三角函數(shù)正切的兩角和公式，∠CAC₁+∠CAA₁的度數(shù)是________°．

Answer 1

30
分析：過點C₁作C₁H⊥AF，利用銳角三角函數(shù)的定義得出C₁H的值及MH的值，再利用三角函數(shù)的定義求出tan∠CAC₁與tan∠CAA₁的值，然后通過等量代換求出∠CAC₁+∠CAA₁的度數(shù)．
解答：解：設(shè)△ABC滾動240°時，C點的位置為C₁，△ABC滾動480°時，A點的位置為A₁．
∵正△ABC的邊長為2，
∴C₁H=MC1×tan60°=2×=即正△ABC的高為，
MH=MD=×2=1，
∴tan∠CAC₁==，
tan∠CAA₁==，
∴由公式tan（α+β）=，
得：tan（∠CAC₁+∠CAA₁），
=，
=（+）÷（1-×）
=．
∴∠CAC₁+∠CAA₁=30°．
故答案為30°．
點評：本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確判斷△ABC滾動的軌跡，利用轉(zhuǎn)化思想和等量代換思想是解答此題的關(guān)鍵．