Question

在正方形ABCD中，AB=4，O為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上，PF⊥CD垂足為F．連接PB．PE⊥PB，交直線DC于點(diǎn)E．設(shè)AP=x，△CPE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：延長FP交AB于G，判斷出△APG是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AG=PG，然后求出BG=PF，再求出∠PBG=∠EPF，然后利用“角邊角”證明△PBG和△EPF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=PG，再求出PG，表示出CE，然后利用三角形的面積公式列式整理即可得解．

解答：解：如圖，延長FP交AB于G，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵PF⊥CD，
∴PG⊥AB，
∴△APG是等腰直角三角形，
∴AG=PG，
∴AB-AG=GF-PG，
即BG=PF，
∵PE⊥PB，
∴∠PBG+∠BPG=∠EPF+∠BPG=90°，
∴∠PBG=∠EPF，
在△PBG和△EPF中，

∠PBG=∠EPF BG=PF ∠BGP=∠PFE=90°

，
∴△PBG≌△EPF（ASA），
∴EF=PG，
∵AP=x，
∴PG=

2

2

x，
∴CE=4-2×

2

2

x=4-

2

x，
又∵PF=4-

2

2

x，
∴△CPE的面積為y=

1

2

×（4-

2

x）×（4-

2

2

x）=

1

2

x²-3

2

x+8，
即y=

1

2

x²-3

2

x+8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．