Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構(gòu)造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構(gòu)造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在如圖2的直角坐標(biāo)系中，當(dāng)點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上，求此時點F的坐標(biāo)．

 

Answer 1

（1）△AGE與△ECF全等 ①AE=EF，證明見解析 ②F(，?1)

【解析】（1）取AB的中點G，連接EG，利用ASA能得到△AGE與△ECF全等；
（2）①在AB上截取AM=EC，證得△AME≌△ECF即可證得AE=EF；
②過點F作FH⊥x軸于H，根據(jù)FH=BE=CH設(shè)BH=a，則FH=a-1，然后表示出點F的坐標(biāo)，根據(jù)點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上得到有關(guān)a的方程求得a值即可求得點F的坐標(biāo)；

（1）【解析】
如圖1，取AB的中點G，連接EG．

△AGE與△ECF全等．
（2）①若點E在線段BC上滑動時AE=EF總成立．
證明：如圖2，在AB上截取AM=EC．

∵AB=BC，
∴BM=BE，
∴△MBE是等腰直角三角形，
∴∠AME=180°-45°=135°，
又∵CF平分正方形的外角，
∴∠ECF=135°，
∴∠AME=∠ECF．
而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△AME≌△ECF．
∴AE=EF．
②過點F作FH⊥x軸于H，
由①知，F(xiàn)H=BE=CH，
設(shè)BH=a，則FH=a-1，
∴點F的坐標(biāo)為F（a，a-1）
∵點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上，
∴a-1=-a2+a+1，
∴a2=2，a=±（負(fù)值不合題意，舍去），
∴a?1＝?1．
∴點F的坐標(biāo)為F(，?1)．