Question

8．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE=∠EAD，則EF與AE的位置關(guān)系垂直．若將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖a、圖b、圖c），其它條件不變，則EF與AE的位置關(guān)系是垂直請結(jié)合圖c加以說明．

Answer 1

分析 兩種情況EF與AE的位置關(guān)系是垂直；理由為：延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G，由ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，再由一對對頂角相等及DE=CE，利用ASA得到三角形ADE與三角形ECG全等，由全等三角形的對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等得到一對角相等，一對邊相等，再由已知角相等，等量代換及等角對等邊得到AF=CF，利用三線合一即可得證．

解答 解：如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且∠FAE=∠EAD，EF與AE的位置關(guān)系是垂直；
若將“正方形”改為“矩形”、“菱形”和“任意平行四邊形”（如圖a、圖b、圖c），其它條件不變，則EF與AE的位置關(guān)系是垂直；
證明：延長AE交BC的延長線于點(diǎn)G，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠D=∠ECG，
∵E為DC的中點(diǎn)，
∴DE=EC，
在△ADE和△GCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECG}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠GEC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△GCE（ASA），
∴AE=GE，∠DAE=∠G，
∵∠FAE=∠DAE，
∴∠FAE=∠G，
∴FA=FG，
∴EF⊥AE．
故答案為：垂直；垂直．

點(diǎn)評 此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形、矩形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．