Question

已知拋物線y=x²與動(dòng)直線y=（2t-1）x-c交于（x₁，y₁），（x₂，y₂）兩點(diǎn)，并且．
（1）當(dāng)c=2時(shí)，求t的值；
（2）求t的取值范圍；????
（3）求當(dāng)t取何值時(shí)，c有最小值？并出c的最小值．

Answer 1

解：∵x²-（2t-1）x+c=0，
∴x₁+x₂=2t-1，x₁x₂=c，
（1）當(dāng)c=2時(shí)，x₁x₂=2，
故可得：（x₁+x₂）²-2x₁x₂=t²+2t-3，即（2t-1）²-2×2=t²+2t-3，
整理得：t²-2t=0，
解得：t₁=0，t₂=2．
當(dāng)t=0時(shí)，x²+x+2沒有實(shí)數(shù)根，拋物線與直線沒有交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)t=2時(shí)，符合題意．
故t的值為2．

（2）∵＞0，
∴（t+3）（t-1）＞0，
解得：t＞1或t＜-3．

（3）∵（x₁+x₂）²-2x₁x₂=t²+2t-3，
∴（2t-1）²-2c=t²+2t-3，
整理得：c=t²-3t+2=（t-1）²+，
故可得，當(dāng)t=1時(shí)，c的最小值為．
分析：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出x₁²+x₂²的表達(dá)式，代入c的值，可得出關(guān)于t的方程，解出可得出t的值．
（2）根據(jù)x₁²+x₂²＞0，可得出t的取值范圍．
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系得出c關(guān)于t的表達(dá)式，從而利用配方法求出c的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的最值、根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與直線的交點(diǎn)問題，解答本題的關(guān)鍵是用含c的式子表示出x₁²+x₂²，注意學(xué)知識(shí)要學(xué)活，達(dá)到靈活運(yùn)用的地步．