Question

8．閱讀如圖的情景對話，然后解答問題：

（1）根據(jù)“內(nèi)外等比多邊形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“平行四邊形一定是內(nèi)外等比四邊形”是真命題還是假命題？并說明理由．
（2）已知內(nèi)外等比四邊形ABCD的四個內(nèi)角分別是∠1，∠2，∠3，∠4，∠1：∠2：∠3：∠4=a：b：c：d（a≤b≤c≤d），請?zhí)剿鱝，b，c，d之間的關系式，并說明理由．
（3）請回答小明的問題“三角形中有內(nèi)外等比三角形嗎？哪些三角形是呢？”請說明理由．

Answer 1

分析 （1）表示出四個內(nèi)角及四個外角，繼而可作出判斷；
（2）分別表示出∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，根據(jù)內(nèi)角中∠1最小，外角中∠8最大，判斷∠8是和∠1相鄰的外角，繼而可得出結(jié)論；
（3）設出等比三邊形ABC的內(nèi)角及外角，同（2）表示出各角，尋找關系，最終確定結(jié)論．

解答 解：（1）真命題．
設平行四邊形ABCD的四個內(nèi)角分別是∠A=x，∠B=180-x，∠C=x，∠D=180-x，
則對應的四個外角度數(shù)分別為180-x，x，180-x，x，
四個內(nèi)角和四個外角按從小到大排列完全相等，所以它們的比相等．
所以平行四邊形一定是內(nèi)外等比四邊形是真命題．

（2）a+d=b+c．
設內(nèi)外等比四邊形的四個外角分別為∠5，∠6，∠7，∠8，
∵∠1：∠2：∠3：∠4=∠5：∠6：∠7：∠8=a：b：c：d，
∵∠1+∠2+∠3+∠4=∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
∴∠1=$\frac{a}{a+b+c+d}$×360°=∠5，同理∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8，
∵內(nèi)角中∠1最小，外角中∠8最大，
∴∠8是和∠1相鄰的外角，
∴∠1+∠8=180°．
即∠1+∠4=180°，
∴∠2+∠3=180°，從而∠1+∠4=∠2+∠3．
也即$\frac{a}{a+b+c+d}$×360+$\fracjdzlbft{a+b+c+d}$×360=$\frac{a+b+c+d}$×360+$\frac{c}{a+b+c+d}$，
于是a+d=b+c．

（3）設內(nèi)外等比三邊形ABC的三個內(nèi)角分別是∠1，∠2，∠3，∠1：∠2：∠3=a：b：c（a≤b≤c），它的三個外角分別是∠4，∠5，∠6
∵∠1：∠2：∠3=∠4：∠5：∠6=a：b：c，∠1+∠2+∠3=180°，∠4+∠5+∠6=360°
∴∠1=$\frac{a}{a+b+c}$×180，∠2=$\frac{a+b+c}$×180，∠3=$\frac{c}{a+b+c}$×180，
∠4=$\frac{a}{a+b+c}$×360，∠5=$\frac{a+b+c}$×360，∠6=$\frac{c}{a+b+c}$×360，
∴∠4=2∠1，∠5=2∠2，∠6=2∠3．
∵內(nèi)角中∠1最小，外角中∠6最大，
∴∠1+∠6=180
內(nèi)角中∠3最大，外角中∠4最小，
∴∠3+∠4=180，
∴∠1+2∠3=180   ①
∠3+2∠1=180   ②
①-②得∠3-∠1=0，即∠3=∠1，即a=c，
∵a≤b≤c
∴a=b=c
所以內(nèi)外等比三角形只能是等邊三角形．
所以三角形中只有等邊三角形是內(nèi)外等比三角形．

點評 本題考查了四邊形的綜合，難度較大，需要一定的邏輯推理能力，解答本題要求學生熟練掌握多邊形形外角的性質(zhì)．