Question

如圖，在△ABC，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F在

AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠CBF=∠CAB．

（Ⅰ）求證：直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn)；

（Ⅱ）若AB=5，sin∠CBF=，求BC和BF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）證明：連接AE.

∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB=90°.        

∴∠EAB+∠ABE=90°.

         ∵ AB=AC , ∴∠EAB=∠CAB .          

           ∵∠CBF=∠CAB , ∴∠EAB =∠CBF，      

           ∴ ∠CBF+∠ABE=90°，即∠ABF==90°.

            ∵AB是⊙O的直徑，∴ 直線(xiàn)BF是⊙O的切線(xiàn).

（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G .

          ∵sin∠CBF=，∠EAB =∠CBF，  ∴sin∠EAB=，

           ∵∠AEB=90°，AB=5，∴BE= AB·sin∠EAB=

∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2 BE=2.  

在Rt△ABE中，AE==2.

∴ sin∠ABE=，cos∠ABE=.

在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2 ，∴ AG=3 .

∵CG∥BF，∴△AGC∽△ABF，          

∴  ,∴BF==.      

【解析】（I）連接AE，利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，從而判定直角三角形，利用直角三角形兩銳角相等得到直角，從而證明∠ABF=90°．

（II）利用已知條件證得∴△AGC∽△BFA，利用比例式求得線(xiàn)段的長(zhǎng)即可．