Question

18．如圖，AB∥DC，∠A=90°，AE=DC．∠1=∠2
（1）△BEC是等腰直角三角形嗎？并說明理由；
（2）若AB=6，BC=10$\sqrt{2}$，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）首先證明Rt△ABE≌Rt△DEC可得∠AEB=∠ECD，BE=CE，再根據(jù)∠ECD+∠DEC=90°可得∠AEB+∠DEC=90°，進而可得∠BEC=90°，△BEC是等腰直角三角形；
（2）由△BEC是等腰直角三角形，BC=10$\sqrt{2}$，可求出BE=CE=10，又AB=6，可根據(jù)勾股定理得到AE=8，由Rt△ADE≌Rt△BEC，可知AB=DE=6，AE=CD=8，根據(jù)梯形面積公式計算即可．

解答 證明：（1）∵AB∥DC，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A=90°，
∴∠D=90°，
∴∠ECD+∠DEC=90°，
∵∠1=∠2，
∴BE=EC，
在Rt△ABE和Rt△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△DEC（HL），
∴∠AEB=∠ECD，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠BEC=180°-90°=90°
∴△BEC是等腰直角三角形；
（2）∵△BEC是等腰直角三角形，BC=10$\sqrt{2}$，
∴BE=CE=10，
又∵AB=6，
∴在Rt△BAE中
AE=$\sqrt{B{E}^{2-}A{B}^{2}}$=8，
∵Rt△ADE≌Rt△BEC，
∴AB=DE=6，AE=CD=8，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×（AB+CD）×（AE+ED）=$\frac{1}{2}$×14×14=128．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握證明三角形全等的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS、HL．