Question

已知線段OA⊥OB，C為OB上中點，D為AO上一點，連AC、BD交于P點．
（1）如圖1，當OA=OB且D為AO中點時，求

AP

PC

的值；
（2）如圖2，當OA=OB，

AD

AO

=

1

4

時，求△BPC與△ACO的面積之比．

Answer 1

分析：（1）首先過C作CE∥OA交BD于E，可得△BCE∽△BOD，根據相似三角形的對應邊成比例可得CE=

1

2

OD=

1

2

AD，再由△ECP∽△DAP，即可求得答案；
（2）首先過C作CE∥OA交BD于E，過P作PF⊥OB交OB于F，然后設AD=x，AO=OB=4x，則OD=3x，由△BCE∽△BOD得CE=

1

2

OD=

3

2

x，再由△ECP∽△DAP得

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
又由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，則可求得PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，而S_△ACO=4x²，繼而求得答案．

解答：解：（1）過C作CE∥OA交BD于E，
∴△BCE∽△BOD，
∴

CE

OD

=

BC

BO

，
∵C為OB上中點，
∴CE=

1

2

OD，
∵D為AO中點，
∴CE=

1

2

AD，
∵△ECP∽△DAP，
∴

AP

PC

=

AD

CE

=2；

（2）過C作CE∥OA交BD于E，過P作PF⊥OB交OB于F，
設AD=x，
∵

AD

AO

=

1

4

，
∴AO=OB=4x，
∴OD=3x，
∵△BCE∽△BOD，C為OB上中點，
∴CE=

1

2

OD=

3

2

x，
∵△ECP∽△DAP，
∴

PD

PE

=

AD

CE

=

2

3

；
由勾股定理可知BD=5x，DE=

5

2

x，
∴

PD

DE-PD

=

2

3

，
∴PD=AD=x，
∵PF=

12

5

x，S_△BPC=

12

5

x2，
∵S_△ACO=4x²，
∴

S△BPC

S△ACO

=

3

5

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、勾股定理以及比例的性質等知識．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線，掌握相似三角形對應邊成比例的性質的應用，注意數形結合思想的應用．