Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點P從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿B→C→A→B的方向運動；點Q從點C出發(fā)，以每秒2個單位沿C→A→B方向的運動，到達點B后立即原速返回，若P、Q兩點同時運動，相遇后同時停止，設運動時間為ι秒．

（1）當ι=　7　時，點P與點Q相遇；

（2）在點P從點B到點C的運動過程中，當ι為何值時，△PCQ為等腰三角形？

（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，設△PCQ的面積為s平方單位．

①求s與ι之間的函數(shù)關系式；

②當s最大時，過點P作直線交AB于點D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

考點：

相似形綜合題．

分析：

（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點P與點Q相遇一定是在P由B到A的過程中，利用方程即可求得；

（2）分Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒，則可以分當0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，和當2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC兩種情況進行討論求得t的值；

（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC的長度是t﹣3，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得t的值，從而求解．

解答：

解：（1）在直角△ABC中，AC==4，

則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時間是4.5秒．此時P運動的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5﹣4.5=7.5．

根據(jù)題意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7．

（2）Q從C到A的時間是3秒，P從A到C的時間是3秒．

則當0≤t≤2時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1．

當2＜t≤3時，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH=PC．△AQH∽△ABC，

在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，則QH=AQ=．

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴×（2t﹣4）=3﹣t，

解得：t=；

（3）在點Q從點B返回點A的運動過程中，P一定在AC上，則PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．

同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：（14﹣2t），

故s=（2t﹣9）×（14﹣2t）=（﹣t²+10t﹣2）．

故當t=5時，s有最大值，此時，P在AC的中點．（如圖2）．

∵沿直線PD折疊，使點A落在直線PC上，

∴PD一定是AC的中垂線．

則AP=AC=2，PD=BC=，

則S_△APD=AP•PD=×2×=．

AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．

則PC邊上的高是：AQ=×4=．

則S_△PCQ=PC•=×2×=．

故答案是：7．

點評：

本題是相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、以及方程的綜合應用，正確進行分類討論是關鍵．