Question

9．如圖1，有一組平行線l₁∥l₂∥l₃∥l₄，正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D分別在l₁、l₂、l₃、l₄上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥l₁于點(diǎn)E．已知相鄰兩條平行線之間的距離為2．
（1）求AE及正方形ABCD的邊長(zhǎng)；
（2）如圖2，延長(zhǎng)AD交l₄于點(diǎn)G，求CG的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）利用已知得出△FAB≌△EDA（AAS），即可得出AE，以及正方形的邊長(zhǎng)；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，利用勾股定理求得DH的長(zhǎng)度，然后由射影定理來(lái)求CG的長(zhǎng)度．

解答 解：（1）如圖1，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥l₁，垂足為F，
∵∠FAB+∠EAD=90°，∠FAB+∠FBA=90°，
∴∠FBA=∠EAD，
在△FAB與△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFA=∠AED}\\{∠FBA=∠EAD}\\{AB=DA}\end{array}\right.$，
∴△FAB≌△EDA（AAS），
∴AE=BF=2，ED=4，
∴AD=2$\sqrt{5}$；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥CG于點(diǎn)H，
∵CD=AD=2$\sqrt{5}$，DH=2，
∴CH=$\sqrt{C{D}^{2}-D{H}^{2}}$=4，
∵CD²=CH•CG，
∴20=4CG，則CG=5．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．