Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，圖中的虛線表示該拋物線的對稱軸，連接AC與BC．
（1）求該函數(shù)的解析式？
（2）求△ABC的面積？
（3）拋物線上是否存在一點Q使得S_△ABQ：S_△ABC=4：3？若存在Q點，請求出Q點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（注意：S_△ABQ：表示△ABQ的面積）

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）代入拋物線y=ax²+bx+c，即可得出拋物線的解析式．
（2）由AB=4，OC=1，根據(jù)三角形的面積公式求解即可，
（3）利用比例式求出S_△ABQ，利用三角形的面積公式求出|Q_{縱坐標(biāo)}|，再分兩種情況求解即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-1），
∴代入拋物線y=ax²+bx+c得

0=a-b+c 0=9a+3b+c C=-1

，
解得

a= 1 3 b=- 2 3 c=-1

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x²-

2

3

x-1．
（2）∵AB=4，OC=1，
∴S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×1=2．
（3）存在．
理由如下：
∵S_△ABQ：S_△ABC=4：3，S_△ABC=2
∴S_△ABQ=

8

3

，
∴

1

2

×4×|Q_{縱坐標(biāo)}|=

8

3

，解得|Q_{縱坐標(biāo)}|=

4

3

，
①當(dāng)Q_{縱坐標(biāo)}=

4

3

時，代入y=

1

3

x²-

2

3

x-1．

4

3

=

1

3

x²-

2

3

x-1．解得x=1±2

2

，
所以Q₁（1+2

2

，

4

3

），Q₂（1-2

2

，

4

3

），
②當(dāng)Q_{縱坐標(biāo)}=-

4

3

時，代入y=

1

3

x²-

2

3

x-1．
-

4

3

=

1

3

x²-

2

3

x-1．解得x=1，
所以Q₃（1，

4

3

）．
綜上所述：Q₁（1+2

2

，

4

3

），Q₂（1-2

2

，

4

3

），Q₃（1，

4

3

）．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)Q_{縱坐標(biāo)}分兩種情況討論求解．