Question

已知∠AOB=30°，半徑為6cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C．

（1）⊙P移動到與邊OB相切時（如圖），切點為D，求劣弧的長；
（2）⊙P移動到與邊OB相交于點E，F，若EF=4cm，求OC的長．

Answer 1

解：（1）如圖1，連接PD、PC．
∵∠AOB=30°，半徑為6cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C．
∴∠DPC=150°，
∴劣弧的長為：=5πcm；

（2）可分兩種情況，
①如圖2，當P在∠AOB內部，連接PE，PC，過點P做PM⊥EF于點M，延長CP交OB于點N，
∵EF=4cm，
∴EM=2cm，
在Rt△EPM中，PM===2cm，
∵∠AOB=30°，
∴∠PNM=60°，
∴PN=PM=3cm，
∴NC=PN+PC=9cm，
在Rt△OCN中，OC=NC×cot30°=9cm．
②如圖3，當P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點N，過點P作PM⊥EF于點M，
由①可知，PN=3cm，
∴NC=PC-PN=3cm，
在Rt△OCN中，OC=OC=NC×cot30°=3cm．
綜上所述，OC的長為9cm或3cm．
分析：（1）根據∠AOB=30°，半徑為3cm的⊙P沿邊OA從右向左平行移動，與邊OA相切的切點記為點C，利用弧長公式得出弧的長；
（2）分兩種情況分析，①當P在∠AOB內部，根據⊙P移動到與邊OB相交于點E，F，利用垂徑定理得出EF=4cm，得出EM=2cm，進而得出OC的長．
②當P在∠AOB外部，連接PF，PC，PC交EF于點N，過點P作PM⊥EF于點M，進而求出即可．
點評：此題主要考查了直線與圓的位置關系以及垂徑定理和弧長計算公的應用．解答（2）題時，對于動點問題，要分類討論，以防漏解．