Question

我們知道：“在三角形的每個頂點處各取一個外角，它們的和就是這個三角形的外角和”．
（1）猜想三角形的外角和是多少度？證明你的結(jié)論；
（2）如果將三角形三條邊都向兩邊延長，并且在每條線上任取兩點連接起來，那么在原三角形外又得到三個新三角形，如圖所示，猜想∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的和是多少？并用（1）的結(jié)論證明你的猜想．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：

分析：（1）先利用三角形外角性質(zhì)得到∠1=∠ABC+∠ACB，∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，再把它們相加，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得到∠1+∠2+∠3=360°；
（2）先根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠AGM=∠A+∠B，∠MNF=∠E+∠F，∠DMN=∠C+∠D，再由（1）中的結(jié)論即可得出結(jié)果．

解答：（1）三角形的外角和等于360°．
證明：如圖所示，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1=∠ABC+∠ACB，
同理得∠2=∠ABC+∠BAC，∠3=∠ACB+∠BAC，
∴∠1+∠2+∠3=（∠ABC+∠ACB）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ACB+∠BAC），
=2（∠ABC+∠ACB+∠BAC）
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．

（2）猜想：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
證明：∵∠AGM是△ABG的外角，
∴∠AGM=∠A+∠B．
∵∠MNF是△EFN的外角，
∴∠MNF=∠E+∠F．
∵∠DMN是△CDM的外角，
∴∠DMN=∠C+∠D．
∵∠AGM，∠MNF，∠DMN是△GMN的外角，
∴∠AGM+∠MNF+∠DMN=360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．

點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．