Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿足=，連接AF并延長交⊙O于點E，連接AD、DE，若CF=2，AF=3．給出下列結論：

①△ADF∽△AED；②FG=2；③tan∠E=；④S_△DEF=．

其中正確的是　　（寫出所有正確結論的序號）．

 

 

Answer 1

【答案】

①②④．

【解析】

試題分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理可得：=，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；

②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；

③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=；

④首先求得△ADF的面積，由相似三角形面積的比等于相似比，即可求得△ADE的面積，繼而求得S_△DEF=．

①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，

∴=，DG=CG，

∴∠ADF=∠AED，

∵∠FAD=∠DAE（公共角），

∴△ADF∽△AED；

故①正確；

②∵=，CF=2，

∴FD=6，

∴CD=DF+CF=8，

∴CG=DG=4，

∴FG=CG﹣CF=2；

故②正確；

③∵AF=3，F(xiàn)G=2，

∴AG==，

∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，

∴tan∠E=；

故③錯誤；

④∵DF=DG+FG=6，AD==，

∴S_△ADF=DF•AG=×6×=，

∵△ADF∽△AED，

∴，

∴=，

∴S_△AED=，

∴S_△DEF=S_△AED﹣S_△ADF=；

故④正確．

故答案為：①②④．

考點：1. 相似三角形的判定與性質；2.垂徑定理；3.圓周角定理．