Question

12．如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的點，且OE⊥AC于點E，過點C作⊙O的切線，交OE的延長線于點D，交AB的延長線于點F，連接AD．（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若cos∠BAC=$\frac{4}{5}$，AC=8，求線段AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由切線的性質(zhì)得出∠OCD=90°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠COD=∠AOD，由SAS證明△COD≌△AOD，得出∠OAD=∠OCD=90°，即可得出結(jié)論；
（2）由直角三角形的銳角關(guān)系證出∠ODA=∠BAC，由垂徑定理得出AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，由三角函數(shù)得出$\frac{DE}{AD}=\frac{4}{5}$，設(shè)DE=4x，AD=5x，則AE=3x=4，求出x，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OC，如圖所示：
∵DC是⊙O的切線，
∴OC⊥DF，
∴∠OCD=90°，
∵OC=OA，OE⊥AC，
∴∠COD=∠AOD，
在△OAD和△OCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}&{\;}\\{∠AOD=∠COD}&{\;}\\{OD=OD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△AOD（SAS），
∴∠OAD=∠OCD=90°，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：∵∠OAD=90°，AC⊥OD，
∴∠ODA=∠BAC，AE=CE=$\frac{1}{2}$AC=4，
在Rt△ADE中，cos∠BAC=cos∠ADE=$\frac{DE}{AD}=\frac{4}{5}$，
∴設(shè)DE=4x，AD=5x，
則AE=3x=4，
∴x=$\frac{4}{3}$，
∴AD=$\frac{20}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題（1）的關(guān)鍵．