Question

1．如圖，一次函數(shù)y=-x+4的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象交于A（1，a），B兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，即可得出a，再把點(diǎn)A坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，即可得出k，兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立求得點(diǎn)B坐標(biāo)；
（2）作點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，求出直線AD的解析式，令y=0，即可得出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)A（1，a）代入一次函數(shù)y=-x+4，
得a=-1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
點(diǎn)A（1，3）代入反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$，
得k=3，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$，
兩個(gè)函數(shù)解析式聯(lián)立列方程組得$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，
解得x₁=1，x₂=3，
∴點(diǎn)B坐標(biāo)（3，1）；

（2）過點(diǎn)B作關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)C，連接AD，交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PB的值最小，
∴D（3，-1），
設(shè)直線AD的解析式為y=mx+n，
把A，D兩點(diǎn)代入得，$\left\{\begin{array}{l}{m+n=3}\\{3m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得m=-2，n=5，
∴直線AD的解析式為y=-2x+5，
令y=0，得x=$\frac{5}{2}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{5}{2}$，0），
S_△PAB=S_△ABD-S_△PBD=$\frac{1}{2}$×2×2-$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)相交的有關(guān)問題；通常先求得反比例函數(shù)解析式；較復(fù)雜三角形的面積可被x軸或y軸分割為2個(gè)三角形的面積和．