Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B；
（1）求證：CD⊥AB，并指出你在證明過程中應(yīng)用了哪兩個(gè)互逆的真命題；
（2）如圖2，若AE平分∠BAC，交CD于點(diǎn)F，交BC于E．求證：∠AEC=∠CFE；
（3）如圖3，若E為BC上一點(diǎn)，AE交CD于點(diǎn)F，BC=3CE，AB=4AD，△ABC、△CEF、△ADF的面積分別為S_△ABC、S_△CEF、S_△ADF，且S_△ABC=36，則S_△CEF-S_△ADF=

 

．（僅填結(jié)果）

Answer 1

考點(diǎn)：命題與定理,三角形的面積,直角三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠A+∠B=90°，然后求出∠A+∠ACD=90°，從而得到∠ADC=90°，再根據(jù)垂直的定義證明即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=∠BAE，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，從而得到∠AEC=∠AFD，再根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠AFD=∠CFE，然后等量代換即可得證；
（3）根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S_△ACD和S_△ACE，然后根據(jù)S_△CEF-S_△ADF=S_△ACE-S_△ACD計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ADC=90°，
即CD⊥AB，
證明時(shí)應(yīng)用了“直角三角形兩銳角互余”和“有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形”；

（2）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CAE+∠AEC=90°，∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AEC=∠AFD，
∵∠AFD=∠CFE（對(duì)頂角相等），
∴∠AEC=∠CFE；

（3）解：∵BC=3CE，AB=4AD，
∴S_△ACD=

1

4

S_△ABC=

1

4

×36=9，S_△ACE=

1

3

S_△ABC=

1

3

×36=12，
∴S_△CEF-S_△ADF=S_△ACE-S_△ACD
=12-9
=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題與定理，三角形的面積，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，有兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形，（3）利用等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出S_△ACD和S_△ACE是解題的關(guān)鍵．