Question

13．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PA=6，PB=2，PC=4，求證：∠BPC=135°．

Answer 1

分析 將△ACP繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，連接PQ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△PCQ是等腰直角三角形，BQ=PA=6，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出PQ，∠QPC=45°，然后利用勾股定理逆定理判斷出△PQB是直角三角形，∠QPB=90°，即可證明∠BPC=135°．

解答 證明：將△ACP繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCQ，連接PQ，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△PCQ是等腰直角三角形，CQ=CP=4，BQ=PA=6，
∴PQ=$\sqrt{2}$CP=4$\sqrt{2}$，且∠QPC=45°，
在△BPQ中，PB²+PQ²=4+32=36=BQ²，
∴∠QPB=90°，
∴∠BPC=∠QPB+∠QPC=135°．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．