Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，CD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，∠ACD＝120º，BD＝10．

（1）求證：CA＝CD；（2）求⊙O的半徑．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見解析（2）10

【解析】（1）證明：連接OC．

∵DC切⊙O于點C，

∴∠OCD=90°．

又∵∠ACD=120°，

∴∠ACO=∠ACD-∠OCD=120°-90°=30°．

∵OC=OA，

∴∠A=∠ACO=30°，

∴∠COD=60°．

∴∠D=30°，

∴CA=DC．

（2）解：∵sin∠D=，

sin∠D=sin30°=，

∴．

解得OB=10．

即⊙O的半徑為10．

（1）可通過證明角相等來證邊相等．連接OC，則OC⊥CD，那么∠ACO=30°；根據(jù)等邊對等角我們不難得出∠A=30°，∠COD=60°，直角三角形OCD中，∠COD=60°，因此∠A=∠D=30°，由此便可得出CA=CD．

（2）在直角三角形OCD中，可用半徑表示出OC，OD，有∠D的度數(shù)，可用正弦函數(shù)求出半徑的長．