Question

如圖，二次函數y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），交y軸于C（0，-2），過B、C畫直線．
（1）求二次函數的解析式；
（2）點P在x軸負半軸上，且PB=PC，求OP的長；
（3）點M在二次函數圖象上，過M向直線BC作垂線，垂足為H．若M在y軸左側，且△CHM∽△BOC，求點M的坐標．

Answer 1

解：（1）∵二次函數y=ax²+bx+c的圖象交x軸于A（-2，0），B（1，0），
∴設該二次函數的解析式為：y=a（x+2）（x-1），
將x=0，y=-2代入，得-2=a（0+2）（0-1），
解得a=1，
∴拋物線的解析式為y=（x+2）（x-1），即y=x²+x-2；

（2）如圖1．由（1）知，拋物線的解析式為y=x²-x-2，則C（0，-2）．
設OP=x，則PB=PC=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x²+2²=（x+1）²，
解得，x=，即OP=；

（3）∵△CHM∽△BOC，
∴∠MCH=∠CBO．
（i）如圖2，當點H在點C上方時．
由（2）知，PB=PC，
∴∠PCB=∠CBP，即∠PCB=∠CBO．
又∵∠MCH=∠CBO，即∠MCB=∠CBO，
∴∠PCB=∠MCB，
∴點M是線段CP的延長線與拋物線的交點．
設直線CM的解析式為y=kx-2（k≠0），
把P（-，0）代入，得-k-2=0，
解得，k=-，則直線CM的解析式是y=-x-2，
∴，
解得，（舍去），或，
∴M（-，）；
（ii）如圖3，點H在點C下方時．
∵∠MCH=∠CBO，
∴CM∥x軸，
∴y_M=-2，
∴x²+x-2=-2，
解得x₁=0（舍去），x₂=-1
∴M（-1，-2）．
綜上所述，點M的坐標是M（-，）或M（-1，-2）．
分析：（1）根據與x軸的兩個交點A、B的坐標，設出二次函數交點式解析式y(tǒng)=a（x+2）（x-1），然后把點C的坐標代入計算求出a的值，即可得到二次函數解析式；
（2）設OP=x，然后表示出PC、PB的長度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可；
（3）根據相似三角形對應角相等可得∠MCH=∠CAO．
（i）當點H在點C上方時，根據（2）的結論，點M為直線PC與拋物線的另一交點，求出直線PC的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立求解即可得到點M的坐標；
（ii）當點H在點C下方時，利用同位角相等，兩直線平行判定CM∥x軸，從而得到點M的縱坐標與點C的縱坐標相同，是-2，代入拋物線解析式計算即可．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了待定系數法求二次函數解析式，勾股定理，相似三角形的性質，兩函數圖象交點的求解方法，綜合性較強，難度較大，要注意分情況討論求解．