Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（0，16），D（24，0），點B在第一象限，且AB∥x軸，BD=20，動點P從原點O開始沿y軸正半軸以每秒4個單位長的速度向點A勻速運動，過點P作x軸的平行線與BD交于點C；動點Q從點A開始沿線段AB-BD以每秒8個單位長的速度向點D勻速運動，設點P、Q同時開始運動且時間為t（t＞0），當點P與點A重合時停止運動，點Q也隨之停止運動．
（1）求點B的坐標及BD所在直線的解析式；
（2）當t為何值時，點Q和點C重合？
（3）當點Q在AB上（包括點B）運動時，求S_△PQC與t的函數關系式；
（4）若∠PQC=90°時，求t的值．

Answer 1

解：（1）∵A（0，16），D（24，0）
∴AO=16，OD=24
過點B作BF⊥OD于F，
∴∠BOF=90°，AO∥BF，且AB∥x軸
∴四邊形ABFO是矩形
∴BF=AO=16
在Rt△BFD中，由勾股定理，得
FD=12
∴OF=12
∴B（12，16）
設直線BD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，解得

∴直線BD的解析式為y=-x+32

（2）∵PC∥OD
∴
∴
∴EC=12-3t
∴PC=24-3t，BE=16-4t
過點Q作QH⊥OD于H，
∴
∵BQ=8t-12
∴DQ=32-8t
∴，解得
QH=
∴GQ=
∴，解得
t₁=8（不符合題意），t₂=
∴當t₂=時點Q和點C重合．

（3）當0＜t≤1.5時
S_△PQC=
∴S_△PQC=6t²-72t+192
∴當點Q在AB上（包括點B）運動時，求S_△PQC與t的函數關系式為S_△PQC=6t²-72t+192

（4）∵
∴
∴DC=5t
∴CQ=32-13t
∵∠PQC=90°
∴△BFD∽△PQC
∴
∴，
解得t=
分析：（1）過點B作BF⊥OD于F，根據勾股定理就可以求出DF的長，從而求得OF的長，就可以求出B點的坐標，利用待定系數法就可以求出直線BD的解析式．
（2）當△PQC的面積為0時，點Q和點C重合，利用三角形的面積公式建立等量關系就可以求出其t值．
（3）利用三角形相似求出EC的長和BE的長，根據三角形的面積公式建立等量關系就可以表示出S_△PQC與t的函數關系式
（4）若∠PQC=90°時，△BFD∽△PQC，利用相似三角形的對應線段成比例建立等量關系，從而求出t的值．
點評：本題是一道一次函數的綜合試題，考查了點的坐標的求法，待定系數法求函數的解析式，矩形的判定及性質，相似三角形的判定及性質及勾股定理的運用．