Question

4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB=$\frac{3}{5}$，將△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)得△ADE，點B的對應(yīng)點D落在邊BC上，聯(lián)結(jié)CE，那么CE的長是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 先利用余弦定義計算出BC=5，再利用勾股定理計算出AC=4，接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，利用三角形內(nèi)角和定理易得∠ACE=∠B，作AH⊥CE于H，由等腰三角形的性質(zhì)得EH=CH，如圖，在Rt△ACH中，利用cos∠ACH=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{3}{5}$可計算出CH=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$，所以CE=2CH=$\frac{24}{5}$．

解答 解：∵∠BAC=90°，AB=3，cosB=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∴BC=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∵△ABC繞著點A旋轉(zhuǎn)得△ADE，點B的對應(yīng)點D落在邊BC上，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠B=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAD），∠ACE=$\frac{1}{2}$（180°-∠CAE），
∴∠ACE=∠B，
∴cos∠ACE=cosB=$\frac{3}{5}$，
作AH⊥CE于H，則EH=CH，如圖，
在Rt△ACH中，∵cos∠ACH=$\frac{CH}{AC}$=$\frac{3}{5}$，
∴CH=$\frac{3}{5}$AC=$\frac{12}{5}$，
∴CE=2CH=$\frac{24}{5}$．
故答案為$\frac{24}{5}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是證明∠ACE=∠B．