Question

閱讀下面的材料：
∵ax²+bx+c=0（a≠0）的根為：x₁=

-b+ b2-4ac

2a

，x₂=

-b- b2-4ac

2a

，
∴x₁+x₂=

-2b

2a

=-

b

a

，x₁•x₂=

b2-(b2-4ac)

4a2

=

c

a

，
綜上得，設ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根為x₁、x₂，則有：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，請利用這一結(jié)論解決問題：
（1）若x²+bx+c=0的兩根為1和3，求b和c的值．
（2）設方程2x²+3x+1=0的根為x₁、x₂，求x₁²+x₂²的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系

專題：閱讀型

分析：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關系：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

來求b、c的值；
（2）利用完全平方公式對x₁²+x₂²進行變形，然后將x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

代入求值即可．

解答：解：（1）∵x²+bx+c=0的兩根為1和3，
∴1×3=-b，1+3=c，
解得 b=-3，c=4；

（2）∵方程2x²+3x+1=0的根為x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-

3

2

，x₁x₂=

1

2

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-

3

2

）²-2×

1

2

=

9

4

-1=

5

4

．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關系．若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反過來也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．